Makalah Aljabar Linier (Program Linier / Model Matematika)

ALJABAR LINIER (PROGRAM LINIER / MODEL MATEMATIKA)

SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER

STMIK DUTA BANGSA

SURAKARTA

2015

PENDAHULUAN

Mata pelajaran Matematika perlu diberikan kepada semua peserta didik mulai dari sekolah dasar untuk membekali peserta didik dengan kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan bekerjasama. Salah satu materi yang dapat mengantar siswa untuk mampu berpikir logis, kritis, analitis dan kreatif adalah Program Linier.

Program linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program Linier banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. Menyelesaikan sistem pertidaksamaan yang merupakan kendala atau pembatas mencari penyelesaian optimum dan menjawab permasalahan. Metode yang digunakan adalah metode grafik dengan menggunakan uji titik sudut dan garis selidik. Pada tingkat universitas, terdapat mata kuliah khusus program linier yang membahas metode penyelesaian program linier yang tujuannya mencari keuntungan maksimum dan mengeluarkan biaya minimum. Metode yang diberikan pada universitas adalah metode grafik, metode simpleks, metode analisis dual, metode transportasi. Dengan melihat pengalaman dan kenyataan tersebut, tampak menarik apabila dikaji secara khusus mengenai materi yang berkaitan dengan program linier.

PROGRAM LINEAR

A. Langkah-langkah menyelesaikan Progam Linier:

1. Buatlah model matematikanya (sistem pertidaksamaan).

2. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika tersebut.

3. Tentukan nilai optimumnya, yaitu maksimum dan minimum dengan menggunakan rumus pada fungsi tujuan f (x,y) = ax + by.

4. Membuat kesimpulan.

Contoh Soal:

1. Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp 1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp 2.000.000,00 per buah. Ia berencana tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp 42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp 500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp 600.000,00, maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah?

Penyelesaian:

a. Model Matematika:

x + y ≤ 25

1.500.000x + 2.000.000y ≤ 42.000.000 3x + 4y ≤ 84

x ≥ 0, y ≥ 0,

x dan y bilangan cacah

b. Fungsi Tujuan:  f(x, y) = 500.000x + 600.000y

1) Mencari daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan

Ø x + y ≤ 25

x	0	25
y	25	0
	(0,25)	(25,0)

Ø 3x + 4y ≤ 84

x	0	28
y	21	0
	(0,21)	(28,0)

Ø Titik potong garis x + y = 25 dan 3x + 4y = 84 adalah

x + y = 25   y = 25 – x

Sehingga,

3x + 4y = 84 3x + 4(25 – x) = 84

3x + 100 -4x = 84

100 – 84 = -3x + 4x

16 = x

Diperoleh,

y = 25 – x

= 25 – 16

= 9

Titik potong (x,y) = (16,9)

c. Fungsi tujuan / sasaran

(x,y) = 500.000x + 600.000y

Titik	Fungsi tujuan 500.000x + 600.000y	Nilai
O (0,0)	500.000 (0) + 600.000 (0)	0,-
A (0,21)	500.000 (0) + 600.000 (21)	Rp 12.600.000,-
B (16,9)	500.000 (16) + 600.000 (9)	Rp 13.400.000,-
C (25,0)	500.000 (25) + 600.000 (0)	Rp 12.500.000,-

Jadi, keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah:

Rp 13.400.000,00

2. Dua jenis logam campuran X dan Y terdiri atas logam A, B, dan C. Satu kg logam campuran X terdiri atas 5 ons logam A, 3 ons logam B, dan 2 ons logam C. Satu kg logam campuran Y terdiri atas 2 ons logam A, 3 ons logam B, dan 5 ons logam C. Logam M dibuat semurah-murahnya dari logam X dan Y, sedemikian sehingga sekurang-kurangnya terdiri atas 6 kg logam A, 7,2 kg logam B, dan 6 kg logam C. Jika harga logam X Rp 4000,00/kg dan harga logam Y Rp 2000,00/kg, berapakah harga minimum logam campuran M itu?

Penyelesaian :

a. Model Matematika

5x + 2y ≥ 6

3x + 3y ≥ 7,2

2x + 5y ≥ 6

x ≥ 0, y ≥ 0

x dan y anggota bilangan Real

b. Fungsi Tujuan = f(x,y) = 4.000x + 2.000y

1) Mencari daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan

Ø 5x + 2y ≥ 6

x	0	1,2
y	3	0
	(0 , 3)	(1,2 , 0)

Ø 3x + 3y ≤ 7,2

x	0	2,4
y	2,4	0
	(0 , 2,4)	(2,4 , 0)

Ø 2x + 5y ≤ 6

x	0	3
y	1,2	0
	(0 , 1,2)	(3 , 0)

Ø Titik potong garis 5x + 2y = 6 dan 3x + 3y = 7,2 adalah

5x + 2y = 6     y =  x + 3

Sehingga,

3x + 3y = 7,2 3x + 3( x + 3) = 7,2

3x - x = 7,2 – 9

 x =

x =

Diperoleh,

y =  x + 3

=  () + 3

= - 1 + 3

= 2

Titik potong (x,y) = (,2)

Selanjutnya titik potong garis 3x +3y = 7,2 dan 2x + 5y = 6 adalah

2x + 5y = 6 y = x +

Sehingga,

3x + 3y = 7,2 3x + 3(  x + ) = 7,2

3x – x = 7,2 –

x =

x = 2

Diperoleh,

y = x +

= (2) +

=  +

=

Titik potong (x,y) = (2,)

c. Fungsi tujuan / sasaran

(x,y) = 4.000x + 2.000y

Titik pojok	Fungsi tujuan 4.000x + 2.000y	Nilai
O (0,0)	4.000(0) + 2.000(0)	0,-
A (0,3)	4.000(0) + 2.000(3)	Rp 6.000,-
B (,2)	4.000() + 2.000(2)S	Rp 5.600,-
C (2,)	4.000(2) + 2.000()	Rp 8.800,-
D (3,0)	4.000(3) + 2.000(0)	Rp 12.000,-

Jadi, harga minimum dari logam campuran M adalah

Rp 5.600,00

PENUTUP

Dari semua uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa program linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian, dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang maksimum/minimum (penyelesaian optimum). Kegunaan program linear adalah untuk memecahkan masalah pengoptimalan (memaksimalkan atau meminimalkan suatu tujuan), seperti mencari keuntungan maksimum dari penjualan suatu produk. Hal-hal yang dibahas dalam program linear adalah program linear dan modul matematika, sistem pertidaksamaan linear, serta nilai optimum suatu bentuk objektif.